著者: Snow Goose, DataCafe
1000元の初期資金を持って、こうしたコインフリップチャレンジゲームに参加すると想像してみてください。あなたはずっとプレイし続けることを選択できます。
毎回コインを1回投げる、
表に投げると、富は80%増加します。
裏返すと、富は50%減少します。
聞こえてくるのは、確実に利益が出るゲームのようですね！
しかし現実は…
もし10万人のプレイヤーがこのゲームに参加し、それぞれが100ラウンドをプレイすると、彼らの平均的な富は確かに指数関数的に増加していることがわかりますが、ほとんどの人の最終的な富は72元にも満たず、破産してしまうことさえあります！
なぜ平均的な富は増加しているのに、大多数の人々はますます貧しくなっているのか？
これが典型的な非遍歴性の罠です。もう一回やれば逆転できると思ってしまうのは、集団の平均を個人の運命と誤解しているからです。
非エルゴダビリティの罠:長期平均≠あなたの真の運命
遍歴性とは何ですか？
遍歴性（エルゴディシティ）という概念は、統計物理学に最初に登場し、確率論、金融、行動科学、機械学習などの分野にも深遠な影響を与えています。これは、長期的な平均値が個々に適用できるのかどうかという核心的な問題に答えようとしています。私たちが意思決定を行う際、果たして「長期的な平均」を信じるべきなのか、それとも「何度も自らの経験」に基づく現実を信じるべきなのか？
19世紀、物理学者ルートヴィヒ・ボルツマン（Ludwig Boltzmann）は、気体分子の運動を研究する際に遍歴性仮説を提唱しました：十分な長さの間、気体分子を観察すれば、それはすべての可能な状態を遍歴することになります。
密閉されたガス容器を想像してください。容器の中には無数のガス分子があり、それぞれの分子は衝突の過程で異なる速度の軌道を経験しています。単一の分子の長期的な軌道と全体のガスの統計分布は同じであるため、ある時点におけるすべての分子の状態をもとに、単一の分子の長期的な軌道を推測することができます。
これは有名なボルツマンの遍歴性仮説です。
数学において、遍歴性とは意味します：
左側は時間平均：個体が十分な長さの時間の間に同じプロセスを何度も経験した後に得られる平均結果を説明します；
右側は集団の平均です：特定の時点で無数の個体を観察した結果得られる統計的期待値を説明します。つまり、システムが遍歴性の条件を満たすとき、単一の個体のパフォーマンスは最終的に集団の「長期平均」に収束します。
もし世界が遍歴的であれば、すべての人の富は最終的に社会の平均的な富のレベルに近づくことになります。遍歴的な世界では、すべての人がすべての可能な経済状態（裕福、貧困、成功、失敗）を体験でき、個々の運命は常に集団の「長期的な平均」に収束することになります。
しかし、現実の生活はしばしば遍歴的ではありません：個々のリソースは限られており、すべての可能な経路を経験する前に、ある失敗によって直接脱落してしまうことがよくあります。
私たちはしばしばこのような指導的な発言を耳にします：
「ある業界の平均年収は100万を超えています。」
「ある人は30歳で財務的自由を得て、起業にはたった2年しかかからなかった。」
「あるインデックスファンドは長期的な年率収益が高く、投資を続ければ富裕になる。」
……
これらの合理的に見える統計データは、私たちに確定的な真実を語っているかのようです。まるで行動さえすれば、長期的な平均収益が個人に適用されるかのようです。しかし、これらの事例は経路依存と再現不可能な非遍歴過程に属します。模倣者は同じ歴史的背景、関係ネットワーク、運のノードを経験することができず、隠れた失敗者の数すら知りません。
データは集団の長期的な平均値を示しますが、現実は短期的な「崖のような失敗」で満ちています。
これは非遍歴性の最も隠れた罠です —— ビッグデータ統計の平均値 ≠ 個々の真の運命。
一度の崩壊は個人にとって二度と補うことができないかもしれない。一度の失敗が人を完全に排除し、「平均状態」に戻ることができなくなることもある。私たち一人ひとりの人生の道は一度しか経験できず、カジノのように集団の長期的な平均を享受し、無数の賭博者の中で確率が平均化されるのを待つことはできない。
なぜ個人の長期的な運命は「平均値」よりも悪いことが多いのか？
非遍歴システムでは、個体の長期的なパフォーマンスはしばしば集団の平均を下回ります。これは偶然ではなく、体系的な構造的特徴です。華やかな平均値は、極少数の起業成功や投資での大富豪、逆転成功の物語によって引き上げられており、より多くの人々の失敗は統計に含まれていません。
現実のシステムは、ほとんどの場合、乗法的であり、経路依存の特性を持っています——例えば、投資の複利、健康の衰退、評判の損失。この種のシステムの典型的な特徴は、上昇には限界があり、下降には底がないことです。
一度の破産は、一生を台無しにする可能性がある；
一度の誤った決断が運命を完全に変える可能性がある；
一度の信頼の失墜は、信頼を完全に破壊する可能性があります；
しかし、得られる富、上昇するパフォーマンス、確立される優位性は常に限られています。
これが数学的に、乗法的プロセスの長期成長率が「平均利益」と等しくなく、より近い理由です：
対照的に、グループ平均は通常、算術平均です。
対数関数が厳密に凹関数であるため、Jensenの不等式に基づいて、次のようになります：
したがって、乗法システムの長期成長率（すなわち幾何平均）は常に算術平均よりも小さくなります。変動が大きいほど、この差は明らかになります。算術平均は「もし永遠に幸運であればどうなるか」を教えてくれますが、幾何平均は「現実の世界での試練を経て残るものは何か」を教えてくれます。
これは、個人の長期的なパフォーマンスが常に「集団の平均収益」を大きく下回ることを意味しており、それは運が悪いのではなく、構造的な要因によるものです。
最適な意思決定をするには？ ケリーの公式の黄金比
それでは、人生の決断において、私たちは長期的なゲームでゼロになる運命を避けるために何ができるのでしょうか？破産せずに退場せず、長期的な複利を実現するにはどうすればよいのでしょうか？
答えは：決してオールインしないで、ケリーのベッティングを学びましょう！
ケリーの公式（ケリー基準）は、繰り返しゲームにおける最適な賭け戦略であり、短期的な損失による退出を避けつつ、長期的な利益を最大化することを目的としています。この理論は、1956年にジョン・L・ケリー・ジュニア（John L. Kelly Jr.）によってベル研究所で提案され、元々は通信システムにおける「ノイズのあるチャネルで信号の電力をどのように配分するか」を解決し、情報伝送効率を最大化することを意図していました。
その後、この理論はすぐに分野を超えて広まりました。
アメリカの数学者で投資の天才であるエドワード・ソープ（Edward Thorp）は、ケリーの公式が富の成長の道筋を最適化できることを発見しました。彼はカジノにケリー方式を持ち込み、『ビート・ザ・ディーラー』で初めてシステマティックに21のディーラーを打ち負かし、その後ウォール街に持ち込み、『ビート・ザ・マーケット』でさらに「収穫」を続けました。
この原則は本質的に対数期待利益（log-utility）の最大化と等価であり、成長とリスクの間の動的なバランスを考慮しています。これは、「長生きすること」と「十分に稼ぐこと」の間で最適なバランスを見つける手助けをします。
ケリーの公式：
その中で、成功の確率は p、失敗の確率は q = 1-p です；成功した場合の利益倍率（元本を含まない）は b、失敗した場合の損失割合は a（通常は1、すべての賭け金を失った場合）。
最初に言及したコイン投げゲームに戻りますが、元本の一定割合を賭けてずっとプレイすることができます。ただし、毎回どれだけ賭けるのが最も合理的ですか？
つまり、ケリーの公式は、毎回総資金の37.5%を投資することを勧めています。あまりにも多く賭けると、たとえ有利であっても、何度も連続して負けることで破産してしまう可能性があります。逆に、あまりにも少なく賭けると、本来あなたに属するべき成長を逃してしまいます。
ケリーの公式の意味は、長期的に最も多くの利益を上げられ、なおかつ生き残れる点を見つけることにあります。
一点補足しますと、ケリーの公式は勝率とオッズに非常に敏感ですが、現実にはこれらのパラメータはしばしば不確実で動的に変化します。そのため、多くの堅実な実践者は、より滑らかな利益の経路を得るためにケリーの推奨値の半分（ハーフケリー戦略と呼ばれる）を選択します。
シミュレーション実験：10万人がコインを投げるギャンブル、何人が「生き残る」ことができるか？
異なる賭け戦略が個々の運命に与える影響をより直感的に理解するために、私は10万人のプレイヤーが参加するコイントスゲームをシミュレーションしました。合計200ラウンド行い、各プレイヤーは独立してゲームを行いました。
ゲームのルールは変わらず：元本1000、表向きで80%の利益、裏向きで50%の損失。プレイヤーは固定の賭け割合を選択できます：例えば全額（100%）、65%、37.5%、……
結果…… 100%を賭けたプレイヤーはほぼ全滅！
最終的な富は「べき乗則分布」を示し、ごく少数の人々が富を得る一方で、ほとんどのプレイヤーは破産しています。
私たちはこの4つの異なるベット戦略のプレイヤーの富の分布を比較します。資産分布が右に行くほど、プレイヤーの資産は高くなります。
a. 100%賭け：ほとんど全員が破産
全押戦略における最終的な資産分布は、巨大な左側の貧困ピークと極細の右側の暴富尾構造を持っています：ほとんどの人が破産し、ごく少数の人がすべてのお金を稼ぎ取る、これがゲームの非対称性と生存者バイアスの真の表れです。
b. 65%の賭け：依然として二極化が続き、多くの人が破産しています。
c. 37.5% ベット（ケリーの公式）：富の安定した成長
ケリー戦略の下では、資産の分布が明らかに右にシフトし、大多数の人々の資産が増加し、分布が集中しています。これは最適な富の蓄積モデルです。
d. 10%賭け：ほとんど破産する人はいないが、リターンは非常に低い
全押のような破産分布のピークはなくなったが、全体の富は低資産層に集中している。対照的に、37.5%の戦略は右側に明確なロングテールを引き出し、資産の倍増を実現する。
ケリー賭けは「ほとんどの場合破産しない」と「かなりの価値増加」の両方を兼ね備えた唯一の戦略であり、数学的に最適な長期生存戦略です。これがケリーの公式の本質です：それはあなたが最も多くを勝ち取ることを目的とするのではなく、十分に長く生き残ることを確実にすることです。
ケリーの公式における人生の哲学
ケリーの公式は、長期的な成功の秘訣は「賭け」の割合をコントロールすることを学ぶことだと教えています。人生は誰が一度のクリティカルヒットを出せるかではなく、誰がずっとプレイし続けられるかの勝負です。
職業においては、一時的な情熱で無職になることでもなく、快適なゾーンに固執することでもなく、継続的に計画を立て、能力を向上させ、道を変える勇気を持ち、選択肢を残すことです；
投資においては、一攫千金を狙うのではなく、オッズに基づいてポジションを管理し、チップを残すことが重要です；
関係の中では、すべての感情や価値を一人に託すのではなく、自分を保ちながら同時に投入することです；
成長と自己管理において、一度の爆発に頼って変化を得るのではなく、安定的で複利的に生活構造を最適化することが重要です。
人生は長いゲームのようなもので、あなたの目標は一度勝つことではなく、ずっとプレイし続けることです。脱落しない限り、必ず良いことが起こります。
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なぜギャンブル依存症は最終的に全てを失うのか？非遍歴的システムにおける生存の法則
著者: Snow Goose, DataCafe
1000元の初期資金を持って、こうしたコインフリップチャレンジゲームに参加すると想像してみてください。あなたはずっとプレイし続けることを選択できます。
毎回コインを1回投げる、
表に投げると、富は80%増加します。
裏返すと、富は50%減少します。
聞こえてくるのは、確実に利益が出るゲームのようですね！
しかし現実は…
もし10万人のプレイヤーがこのゲームに参加し、それぞれが100ラウンドをプレイすると、彼らの平均的な富は確かに指数関数的に増加していることがわかりますが、ほとんどの人の最終的な富は72元にも満たず、破産してしまうことさえあります！
なぜ平均的な富は増加しているのに、大多数の人々はますます貧しくなっているのか？
これが典型的な非遍歴性の罠です。もう一回やれば逆転できると思ってしまうのは、集団の平均を個人の運命と誤解しているからです。
非エルゴダビリティの罠:長期平均≠あなたの真の運命
遍歴性とは何ですか？
遍歴性（エルゴディシティ）という概念は、統計物理学に最初に登場し、確率論、金融、行動科学、機械学習などの分野にも深遠な影響を与えています。これは、長期的な平均値が個々に適用できるのかどうかという核心的な問題に答えようとしています。私たちが意思決定を行う際、果たして「長期的な平均」を信じるべきなのか、それとも「何度も自らの経験」に基づく現実を信じるべきなのか？
19世紀、物理学者ルートヴィヒ・ボルツマン（Ludwig Boltzmann）は、気体分子の運動を研究する際に遍歴性仮説を提唱しました：十分な長さの間、気体分子を観察すれば、それはすべての可能な状態を遍歴することになります。
密閉されたガス容器を想像してください。容器の中には無数のガス分子があり、それぞれの分子は衝突の過程で異なる速度の軌道を経験しています。単一の分子の長期的な軌道と全体のガスの統計分布は同じであるため、ある時点におけるすべての分子の状態をもとに、単一の分子の長期的な軌道を推測することができます。
これは有名なボルツマンの遍歴性仮説です。
数学において、遍歴性とは意味します：
左側は時間平均：個体が十分な長さの時間の間に同じプロセスを何度も経験した後に得られる平均結果を説明します；
右側は集団の平均です：特定の時点で無数の個体を観察した結果得られる統計的期待値を説明します。つまり、システムが遍歴性の条件を満たすとき、単一の個体のパフォーマンスは最終的に集団の「長期平均」に収束します。
もし世界が遍歴的であれば、すべての人の富は最終的に社会の平均的な富のレベルに近づくことになります。遍歴的な世界では、すべての人がすべての可能な経済状態（裕福、貧困、成功、失敗）を体験でき、個々の運命は常に集団の「長期的な平均」に収束することになります。
しかし、現実の生活はしばしば遍歴的ではありません：個々のリソースは限られており、すべての可能な経路を経験する前に、ある失敗によって直接脱落してしまうことがよくあります。
私たちはしばしばこのような指導的な発言を耳にします：
「ある業界の平均年収は100万を超えています。」
「ある人は30歳で財務的自由を得て、起業にはたった2年しかかからなかった。」
「あるインデックスファンドは長期的な年率収益が高く、投資を続ければ富裕になる。」
……
これらの合理的に見える統計データは、私たちに確定的な真実を語っているかのようです。まるで行動さえすれば、長期的な平均収益が個人に適用されるかのようです。しかし、これらの事例は経路依存と再現不可能な非遍歴過程に属します。模倣者は同じ歴史的背景、関係ネットワーク、運のノードを経験することができず、隠れた失敗者の数すら知りません。
データは集団の長期的な平均値を示しますが、現実は短期的な「崖のような失敗」で満ちています。
これは非遍歴性の最も隠れた罠です —— ビッグデータ統計の平均値 ≠ 個々の真の運命。
一度の崩壊は個人にとって二度と補うことができないかもしれない。一度の失敗が人を完全に排除し、「平均状態」に戻ることができなくなることもある。私たち一人ひとりの人生の道は一度しか経験できず、カジノのように集団の長期的な平均を享受し、無数の賭博者の中で確率が平均化されるのを待つことはできない。
なぜ個人の長期的な運命は「平均値」よりも悪いことが多いのか？
非遍歴システムでは、個体の長期的なパフォーマンスはしばしば集団の平均を下回ります。これは偶然ではなく、体系的な構造的特徴です。華やかな平均値は、極少数の起業成功や投資での大富豪、逆転成功の物語によって引き上げられており、より多くの人々の失敗は統計に含まれていません。
現実のシステムは、ほとんどの場合、乗法的であり、経路依存の特性を持っています——例えば、投資の複利、健康の衰退、評判の損失。この種のシステムの典型的な特徴は、上昇には限界があり、下降には底がないことです。
一度の破産は、一生を台無しにする可能性がある；
一度の誤った決断が運命を完全に変える可能性がある；
一度の信頼の失墜は、信頼を完全に破壊する可能性があります；
しかし、得られる富、上昇するパフォーマンス、確立される優位性は常に限られています。
これが数学的に、乗法的プロセスの長期成長率が「平均利益」と等しくなく、より近い理由です：
対照的に、グループ平均は通常、算術平均です。
対数関数が厳密に凹関数であるため、Jensenの不等式に基づいて、次のようになります：
したがって、乗法システムの長期成長率（すなわち幾何平均）は常に算術平均よりも小さくなります。変動が大きいほど、この差は明らかになります。算術平均は「もし永遠に幸運であればどうなるか」を教えてくれますが、幾何平均は「現実の世界での試練を経て残るものは何か」を教えてくれます。
これは、個人の長期的なパフォーマンスが常に「集団の平均収益」を大きく下回ることを意味しており、それは運が悪いのではなく、構造的な要因によるものです。
最適な意思決定をするには？ ケリーの公式の黄金比
それでは、人生の決断において、私たちは長期的なゲームでゼロになる運命を避けるために何ができるのでしょうか？破産せずに退場せず、長期的な複利を実現するにはどうすればよいのでしょうか？
答えは：決してオールインしないで、ケリーのベッティングを学びましょう！
ケリーの公式（ケリー基準）は、繰り返しゲームにおける最適な賭け戦略であり、短期的な損失による退出を避けつつ、長期的な利益を最大化することを目的としています。この理論は、1956年にジョン・L・ケリー・ジュニア（John L. Kelly Jr.）によってベル研究所で提案され、元々は通信システムにおける「ノイズのあるチャネルで信号の電力をどのように配分するか」を解決し、情報伝送効率を最大化することを意図していました。
その後、この理論はすぐに分野を超えて広まりました。
アメリカの数学者で投資の天才であるエドワード・ソープ（Edward Thorp）は、ケリーの公式が富の成長の道筋を最適化できることを発見しました。彼はカジノにケリー方式を持ち込み、『ビート・ザ・ディーラー』で初めてシステマティックに21のディーラーを打ち負かし、その後ウォール街に持ち込み、『ビート・ザ・マーケット』でさらに「収穫」を続けました。
この原則は本質的に対数期待利益（log-utility）の最大化と等価であり、成長とリスクの間の動的なバランスを考慮しています。これは、「長生きすること」と「十分に稼ぐこと」の間で最適なバランスを見つける手助けをします。
ケリーの公式：
その中で、成功の確率は p、失敗の確率は q = 1-p です；成功した場合の利益倍率（元本を含まない）は b、失敗した場合の損失割合は a（通常は1、すべての賭け金を失った場合）。
最初に言及したコイン投げゲームに戻りますが、元本の一定割合を賭けてずっとプレイすることができます。ただし、毎回どれだけ賭けるのが最も合理的ですか？
つまり、ケリーの公式は、毎回総資金の37.5%を投資することを勧めています。あまりにも多く賭けると、たとえ有利であっても、何度も連続して負けることで破産してしまう可能性があります。逆に、あまりにも少なく賭けると、本来あなたに属するべき成長を逃してしまいます。
ケリーの公式の意味は、長期的に最も多くの利益を上げられ、なおかつ生き残れる点を見つけることにあります。
一点補足しますと、ケリーの公式は勝率とオッズに非常に敏感ですが、現実にはこれらのパラメータはしばしば不確実で動的に変化します。そのため、多くの堅実な実践者は、より滑らかな利益の経路を得るためにケリーの推奨値の半分（ハーフケリー戦略と呼ばれる）を選択します。
シミュレーション実験：10万人がコインを投げるギャンブル、何人が「生き残る」ことができるか？
異なる賭け戦略が個々の運命に与える影響をより直感的に理解するために、私は10万人のプレイヤーが参加するコイントスゲームをシミュレーションしました。合計200ラウンド行い、各プレイヤーは独立してゲームを行いました。
ゲームのルールは変わらず：元本1000、表向きで80%の利益、裏向きで50%の損失。プレイヤーは固定の賭け割合を選択できます：例えば全額（100%）、65%、37.5%、……
結果…… 100%を賭けたプレイヤーはほぼ全滅！
最終的な富は「べき乗則分布」を示し、ごく少数の人々が富を得る一方で、ほとんどのプレイヤーは破産しています。
私たちはこの4つの異なるベット戦略のプレイヤーの富の分布を比較します。資産分布が右に行くほど、プレイヤーの資産は高くなります。
a. 100%賭け：ほとんど全員が破産
全押戦略における最終的な資産分布は、巨大な左側の貧困ピークと極細の右側の暴富尾構造を持っています：ほとんどの人が破産し、ごく少数の人がすべてのお金を稼ぎ取る、これがゲームの非対称性と生存者バイアスの真の表れです。
b. 65%の賭け：依然として二極化が続き、多くの人が破産しています。
c. 37.5% ベット（ケリーの公式）：富の安定した成長
ケリー戦略の下では、資産の分布が明らかに右にシフトし、大多数の人々の資産が増加し、分布が集中しています。これは最適な富の蓄積モデルです。
d. 10%賭け：ほとんど破産する人はいないが、リターンは非常に低い
全押のような破産分布のピークはなくなったが、全体の富は低資産層に集中している。対照的に、37.5%の戦略は右側に明確なロングテールを引き出し、資産の倍増を実現する。
ケリー賭けは「ほとんどの場合破産しない」と「かなりの価値増加」の両方を兼ね備えた唯一の戦略であり、数学的に最適な長期生存戦略です。これがケリーの公式の本質です：それはあなたが最も多くを勝ち取ることを目的とするのではなく、十分に長く生き残ることを確実にすることです。
ケリーの公式における人生の哲学
ケリーの公式は、長期的な成功の秘訣は「賭け」の割合をコントロールすることを学ぶことだと教えています。人生は誰が一度のクリティカルヒットを出せるかではなく、誰がずっとプレイし続けられるかの勝負です。
職業においては、一時的な情熱で無職になることでもなく、快適なゾーンに固執することでもなく、継続的に計画を立て、能力を向上させ、道を変える勇気を持ち、選択肢を残すことです；
投資においては、一攫千金を狙うのではなく、オッズに基づいてポジションを管理し、チップを残すことが重要です；
関係の中では、すべての感情や価値を一人に託すのではなく、自分を保ちながら同時に投入することです；
成長と自己管理において、一度の爆発に頼って変化を得るのではなく、安定的で複利的に生活構造を最適化することが重要です。
人生は長いゲームのようなもので、あなたの目標は一度勝つことではなく、ずっとプレイし続けることです。脱落しない限り、必ず良いことが起こります。