Уявіть, що ви берете участь у грі з перекиданням монети з початковим капіталом у 1000 юанів, і ви можете вирішити грати далі:
Кожен раунд підкидають монету,
Кинути на лицьову сторону, багатство зросло на 80%.
Викинувши на зворотний бік, багатство зменшується на 50%.
Звучить як гра, в якій можна тільки виграти!
Але реальність така...
Якщо 100 тисяч гравців візьмуть участь у цій грі та проведуть по 100 раундів, ви виявите, що їхнє середнє багатство дійсно зростає експоненційно, але в більшості випадків остаточне багатство людей виявляється менше ніж 72 гривні, а деякі навіть банкрутують!
Чому середнє багатство зростає, але більшість людей стає все біднішими?
Це типовий приклад неітерованої пастки. Завжди здається, що ще один раунд дозволить перевернути ситуацію, саме через те, що ми помилково сприймаємо середнє значення групи як долю окремої особи.
Невиборчі пастки: довгострокове середнє ≠ твоя справжня доля
Що таке обхідність?
Концепція ергодичності вперше з'явилася в статистичній фізиці, а також справила глибокий вплив на теорію ймовірностей, фінанси, поведінкові науки, машинне навчання та інші сфери. Основне питання, на яке вона намагається відповісти: чи застосовуються довгострокові середні значення до індивідів? Коли ми приймаємо рішення, чи повинні ми вірити в "довгострокове середнє", чи в реальність "неоднократного особистого досвіду"?
У 19 столітті фізик Людвіг Больцман (Ludwig Boltzmann) вивчив рух молекул газу і висунув гіпотезу про ергодичність: якщо спостерігати за молекулою газу достатньо довго, вона відвідає всі можливі стани.
Уявіть собі закритий газовий контейнер, в якому міститься безліч газових молекул, кожна з яких під час зіткнень проходить різні траєкторії швидкості. Довгострокова траєкторія окремої молекули і статистичний розподіл всього газу однакові, що означає, що ми можемо використати стан усіх молекул у певний момент часу, щоб передбачити довгострокову траєкторію окремої молекули.
Це відома гіпотезаergіtації Больцмана.
У математиці, обходження означає:
Зліва - середнє за часом: описує середній результат, отриманий індивідом після багаторазового проходження одного й того ж процесу протягом достатньо тривалого часу;
Праворуч - середнє по групі: опис статистичного сподівання, отриманого шляхом спостереження за безліччю індивідів в певний момент часу. Іншими словами: коли система задовольняє умови ергодичності, результати окремого індивіда зрештою зійдуться до "довгострокового середнього" групи.
Якщо світ є випадковим, то багатство кожної людини зрештою наблизиться до середнього рівня багатства в суспільстві. У випадковому світі всі можуть пережити всі можливі економічні стани (багатство, бідність, успіх, невдача), доля особи завжди буде зводитися до "довгострокового середнього" групи.
Але реальне життя часто є непереборною: ресурси окремих осіб обмежені, і вони часто вибувають через невдачу, не пройшовши всі можливі шляхи.
Ми часто чуємо такі провідні висловлювання:
"Середній річний дохід у певній галузі перевищує мільйон."
"Хтось став фінансово незалежним у 30 років, на підприємництво витратив лише два роки."
«Якийсь індексний фонд має високу річну дохідність у довгостроковій перспективі, якщо просто продовжувати інвестувати, то можна стати багатим.»
……
Ці на перший погляд розумні статистичні дані, здається, говорять нам певну правду. Схоже, що якщо діяти, то довгострокова середня прибутковість буде застосовуватись до індивідуумів. Але ці випадки належать до залежності від шляху + некопійованого неперетворювального процесу. Наслідувачі не можуть пережити той же історичний контекст, мережу зв'язків, щасливі моменти, і навіть не знають, скільки прихованих невдах існує.
Дані говорять про довгострокове середнє значення групи, але реальність сповнена короткострокових "обривних невдач".
Це саме та найбільш прихована пастка неінтервальності — середнє значення статистики великих даних ≠ справжня доля індивіда.
Одне руйнування може назавжди залишити людину без виходу, одна невдача може позбавити шансу повернутися до "середнього стану". Кожна з наших життєвих шляхів може бути пройдена лише один раз, і ми не можемо, як у казино, жити за рахунок групового довгострокового середнього, чекаючи, поки ймовірність вирівняється серед безлічі гравців.
Чому довгострокова доля окремих осіб зазвичай гірша, ніж "середнє значення"?
У неевристичних системах довгострокові результати окремих осіб зазвичай нижчі за середні показники групи. Це не випадковість, а системна структурна особливість. Гладкі середні значення часто підвищуються завдяки історіям про успішних підприємців, які досягли успіху, багатих інвесторів, які стали заможними, та тих, хто зміг повернутися в гру, тоді як провали більшості ніколи не потрапляють до статистики.
Реальні системи в більшості випадків є множинними і мають характеристики залежності від шляху — наприклад, складні відсотки інвестицій, погіршення здоров'я, руйнування репутації. Типові характеристики таких систем: обмежене зростання, бездонне падіння.
Один банкрутство може знищити все життя;
Одна помилкова ухвала може кардинально змінити долю;
Один раз зрадивши довіру, можна повністю знищити її.
Але можливості заробити багатство, підвищити показники ефективності та створити переваги завжди обмежені.
Це саме те, чому в математиці довгострокова швидкість зростання процесу множення не дорівнює «середньому доходу», а є ближчою до:
В порівнянні, середнє значення групи зазвичай розраховується як арифметичне середнє,
А оскільки логарифмічна функція є строго опуклою функцією, на основі нерівності Єнсена, є:
Тому довгострокова швидкість зростання мультиплікаторної системи (тобто геометричне середнє) завжди менша за арифметичне середнє. Чим більше коливання, тим яскравіша ця різниця. Арифметичне середнє говорить вам, "якщо б вам завжди пощастило", а геометричне середнє говорить вам, "скільки ви залишилися після того, як пройшли через бурі в реальному світі."
Це означає, що довгострокові результати окремих осіб завжди значно нижчі за "середній дохід групи", і це не випадковість, а наслідок структури.
Як приймати найкращі рішення? Золотий перетин формули Келлі
Отже, що ми можемо зробити в життєвих рішеннях, щоб уникнути долі нульового балансу в довгостроковій грі? Як не збанкрутувати і вийти з гри, а також досягти довгострокових складених відсотків?
Відповідь: ніколи не ставте все на карту, навчіться ставити за Келлі!
Формула Келлі (Kelly Criterion) — це оптимальна стратегія ставок для повторних ігор, мета якої полягає в максимізації довгострокових доходів, одночасно уникаючи короткострокових втрат. Вона була вперше запропонована Джоном Келлі (John L. Kelly Jr.) у 1956 році в лабораторії Белла, первісно з метою вирішення проблеми "як розподілити потужність сигналу в зашумленому каналі" для максимізації ефективності передачі інформації.
Пізніше ця теорія швидко вийшла за межі своєї сфери.
Американський математик та інвестор-геній Едвард Торп (Edward Thorp) виявив, що формула Келлі може оптимізувати шлях зростання багатства. Він впровадив формулу Келлі в казино, у своїй книзі "Beat the Dealer" вперше систематично переміг круп'є в 21, а потім приніс її на Уолл-стріт, продовживши "збирати" в "Beat the Market".
Цей принцип по суті еквівалентний максимізації логарифмічної очікуваної вигоди (log-utility), що забезпечує динамічний баланс між зростанням і ризиком. Він допомагає вам знайти оптимальну точку балансу між "жити довго" і "заробляти достатньо".
Критерій Келлі:
Серед них ймовірність успіху дорівнює p, а ймовірність невдачі дорівнює q = 1-p; множник прибутку під час успіху (не враховуючи основний капітал) дорівнює b, а відсоток втрат під час невдачі дорівнює a (зазвичай 1, якщо втратили всю суму ставки).
Повертаючись до згадуваної на початку гри в підкидання монети, ви можете вибрати ставити певний відсоток від основної суми і грати далі, але скільки найбільш розумно ставити щоразу?
Це означає, що формула Келлі рекомендує вам інвестувати 37,5% від загального капіталу кожного разу. Якщо ви ставите занадто багато, навіть маючи перевагу, ви можете збанкрутувати через кілька підряд програшів; якщо ви ставите занадто мало, ви пропустите зростання, яке повинно було належати вам.
Значення формули Келлі полягає в тому, щоб знайти ту точку, яка дозволяє не тільки заробляти найбільше в довгостроковій перспективі, але й вижити.
Додам, що формула Келлі дуже чутлива до коефіцієнтів виграшу, але в реальному житті ці параметри часто є невизначеними або динамічно змінюються, тому багато надійних практиків обирають половину рекомендованого значення Келлі (яка називається стратегією півкелі) в обмін на більш плавний шлях прибутків.
Моделювання експерименту: у грі з підкиданням монет 100 тисяч людей, скільки з них зможе "вижити"?
Щоб наочніше зрозуміти вплив різних стратегій ставок на долю окремих гравців, я змоделював участь 100 000 гравців у грі з підкиданням монети на початку, усього провівши 200 раундів, кожен гравець грав незалежно.
Правила гри залишаються такими ж: початковий капітал 1000, виграш 80% при позитивному результаті, збиток 50% при негативному. Гравці можуть обрати фіксований відсоток ставки: наприклад, ставити 100% від всієї суми, 65%, 37,5%, ...
Результат... Гравці, які поставили 100%, майже всі знищені!
Остаточне багатство має "степеневий розподіл", хоча є дуже небагато людей, які стали багатими, але абсолютна більшість гравців збанкрутувала.
Ми порівнюємо розподіл багатства гравців за чотирма різними стратегіями ставок: чим правіше розташовані активи, тим вищі активи гравця.
a. 100% ставка: майже всі банкрути
Остаточний розподіл активів за стратегією повного ставлення має величезний лівий пік бідності + дуже тонку праву структуру багатства: більшість людей банкрутують, а дуже мала кількість заробляє всі гроші, це справжнє відображення асиметрії гри + упередження виживших.
b. 65% ставки: все ще спостерігається двополяризація, все ще є багато людей, які банкрутують
c. 37.5% ставки (формула Келлі): стабільне зростання багатства
У стратегії ставок Келлі розподіл активів явно зсувається вправо, більшість людей мають зростання активів, і розподіл зосереджений, що є оптимальною моделлю накопичення багатства.
d. 10% ставка: майже ніхто не банкрутує, але повернення занадто низьке
Немає схожих пікових значень банкрутств за умов повного ризику, але загальне багатство зосереджено в зоні низьких активів. У порівнянні, стратегія 37,5% матиме помітно довгий хвіст праворуч, що призведе до множення активів.
Ставка Келлі є єдиною стратегією, яка поєднує "більшість випадків без банкрутства" та "значний приріст вартості", і є математично оптимальною стратегією для довгострокового виживання. Саме в цьому суть формули Келлі: вона не призначена для того, щоб ви вигравали найбільше, а щоб забезпечити ваше довге життя.
Філософія життя в формулі Келлі
Формула Келлі говорить нам, що секрет тривалого успіху полягає в умінні контролювати пропорцію "ставки". Життя - це не змагання, хто зможе завдати удару один раз, а змагання, хто зможе грати безперервно.
У професійному житті не варто звільнятися на емоціях, і не слід застрягати в комфортній зоні, важливо постійно планувати, підвищувати свої навички, сміливо змінювати напрямок та залишати собі право вибору;
У інвестуванні не йдеться про те, щоб ризикувати всім і швидко розбагатіти, а про те, щоб контролювати позицію відповідно до шансів, залишаючи собі фішки;
У стосунках не слід покладати всі емоції та цінності на одну людину, а потрібно вкладати та водночас зберігати себе;
У зростанні та самодисципліні не покладайтеся на одноразовий спалах для досягнення змін, а оптимізуйте структуру життя стабільно та з ефектом складного відсотка.
Життя схоже на тривалу гру, ваша мета не в тому, щоб виграти один раз, а в тому, щоб переконатися, що ви зможете грати далі. Лише не виходячи з гри, обов'язково станеться щось хороше.
Контент має виключно довідковий характер і не є запрошенням до участі або пропозицією. Інвестиційні, податкові чи юридичні консультації не надаються. Перегляньте Відмову від відповідальності , щоб дізнатися більше про ризики.
Чому менталітет азартного гравця врешті-решт призводить до втрат? Закони виживання в неперебірних системах
Автор: Снігова гуска, DataCafe
Уявіть, що ви берете участь у грі з перекиданням монети з початковим капіталом у 1000 юанів, і ви можете вирішити грати далі:
Кожен раунд підкидають монету,
Кинути на лицьову сторону, багатство зросло на 80%.
Викинувши на зворотний бік, багатство зменшується на 50%.
Звучить як гра, в якій можна тільки виграти!
Але реальність така...
Якщо 100 тисяч гравців візьмуть участь у цій грі та проведуть по 100 раундів, ви виявите, що їхнє середнє багатство дійсно зростає експоненційно, але в більшості випадків остаточне багатство людей виявляється менше ніж 72 гривні, а деякі навіть банкрутують!
Чому середнє багатство зростає, але більшість людей стає все біднішими?
Це типовий приклад неітерованої пастки. Завжди здається, що ще один раунд дозволить перевернути ситуацію, саме через те, що ми помилково сприймаємо середнє значення групи як долю окремої особи.
Невиборчі пастки: довгострокове середнє ≠ твоя справжня доля
Що таке обхідність?
Концепція ергодичності вперше з'явилася в статистичній фізиці, а також справила глибокий вплив на теорію ймовірностей, фінанси, поведінкові науки, машинне навчання та інші сфери. Основне питання, на яке вона намагається відповісти: чи застосовуються довгострокові середні значення до індивідів? Коли ми приймаємо рішення, чи повинні ми вірити в "довгострокове середнє", чи в реальність "неоднократного особистого досвіду"?
У 19 столітті фізик Людвіг Больцман (Ludwig Boltzmann) вивчив рух молекул газу і висунув гіпотезу про ергодичність: якщо спостерігати за молекулою газу достатньо довго, вона відвідає всі можливі стани.
Уявіть собі закритий газовий контейнер, в якому міститься безліч газових молекул, кожна з яких під час зіткнень проходить різні траєкторії швидкості. Довгострокова траєкторія окремої молекули і статистичний розподіл всього газу однакові, що означає, що ми можемо використати стан усіх молекул у певний момент часу, щоб передбачити довгострокову траєкторію окремої молекули.
Це відома гіпотезаergіtації Больцмана.
У математиці, обходження означає:
Зліва - середнє за часом: описує середній результат, отриманий індивідом після багаторазового проходження одного й того ж процесу протягом достатньо тривалого часу;
Праворуч - середнє по групі: опис статистичного сподівання, отриманого шляхом спостереження за безліччю індивідів в певний момент часу. Іншими словами: коли система задовольняє умови ергодичності, результати окремого індивіда зрештою зійдуться до "довгострокового середнього" групи.
Якщо світ є випадковим, то багатство кожної людини зрештою наблизиться до середнього рівня багатства в суспільстві. У випадковому світі всі можуть пережити всі можливі економічні стани (багатство, бідність, успіх, невдача), доля особи завжди буде зводитися до "довгострокового середнього" групи.
Але реальне життя часто є непереборною: ресурси окремих осіб обмежені, і вони часто вибувають через невдачу, не пройшовши всі можливі шляхи.
Ми часто чуємо такі провідні висловлювання:
"Середній річний дохід у певній галузі перевищує мільйон."
"Хтось став фінансово незалежним у 30 років, на підприємництво витратив лише два роки."
«Якийсь індексний фонд має високу річну дохідність у довгостроковій перспективі, якщо просто продовжувати інвестувати, то можна стати багатим.»
……
Ці на перший погляд розумні статистичні дані, здається, говорять нам певну правду. Схоже, що якщо діяти, то довгострокова середня прибутковість буде застосовуватись до індивідуумів. Але ці випадки належать до залежності від шляху + некопійованого неперетворювального процесу. Наслідувачі не можуть пережити той же історичний контекст, мережу зв'язків, щасливі моменти, і навіть не знають, скільки прихованих невдах існує.
Дані говорять про довгострокове середнє значення групи, але реальність сповнена короткострокових "обривних невдач".
Це саме та найбільш прихована пастка неінтервальності — середнє значення статистики великих даних ≠ справжня доля індивіда.
Одне руйнування може назавжди залишити людину без виходу, одна невдача може позбавити шансу повернутися до "середнього стану". Кожна з наших життєвих шляхів може бути пройдена лише один раз, і ми не можемо, як у казино, жити за рахунок групового довгострокового середнього, чекаючи, поки ймовірність вирівняється серед безлічі гравців.
Чому довгострокова доля окремих осіб зазвичай гірша, ніж "середнє значення"?
У неевристичних системах довгострокові результати окремих осіб зазвичай нижчі за середні показники групи. Це не випадковість, а системна структурна особливість. Гладкі середні значення часто підвищуються завдяки історіям про успішних підприємців, які досягли успіху, багатих інвесторів, які стали заможними, та тих, хто зміг повернутися в гру, тоді як провали більшості ніколи не потрапляють до статистики.
Реальні системи в більшості випадків є множинними і мають характеристики залежності від шляху — наприклад, складні відсотки інвестицій, погіршення здоров'я, руйнування репутації. Типові характеристики таких систем: обмежене зростання, бездонне падіння.
Один банкрутство може знищити все життя;
Одна помилкова ухвала може кардинально змінити долю;
Один раз зрадивши довіру, можна повністю знищити її.
Але можливості заробити багатство, підвищити показники ефективності та створити переваги завжди обмежені.
Це саме те, чому в математиці довгострокова швидкість зростання процесу множення не дорівнює «середньому доходу», а є ближчою до:
В порівнянні, середнє значення групи зазвичай розраховується як арифметичне середнє,
А оскільки логарифмічна функція є строго опуклою функцією, на основі нерівності Єнсена, є:
Тому довгострокова швидкість зростання мультиплікаторної системи (тобто геометричне середнє) завжди менша за арифметичне середнє. Чим більше коливання, тим яскравіша ця різниця. Арифметичне середнє говорить вам, "якщо б вам завжди пощастило", а геометричне середнє говорить вам, "скільки ви залишилися після того, як пройшли через бурі в реальному світі."
Це означає, що довгострокові результати окремих осіб завжди значно нижчі за "середній дохід групи", і це не випадковість, а наслідок структури.
Як приймати найкращі рішення? Золотий перетин формули Келлі
Отже, що ми можемо зробити в життєвих рішеннях, щоб уникнути долі нульового балансу в довгостроковій грі? Як не збанкрутувати і вийти з гри, а також досягти довгострокових складених відсотків?
Відповідь: ніколи не ставте все на карту, навчіться ставити за Келлі!
Формула Келлі (Kelly Criterion) — це оптимальна стратегія ставок для повторних ігор, мета якої полягає в максимізації довгострокових доходів, одночасно уникаючи короткострокових втрат. Вона була вперше запропонована Джоном Келлі (John L. Kelly Jr.) у 1956 році в лабораторії Белла, первісно з метою вирішення проблеми "як розподілити потужність сигналу в зашумленому каналі" для максимізації ефективності передачі інформації.
Пізніше ця теорія швидко вийшла за межі своєї сфери.
Американський математик та інвестор-геній Едвард Торп (Edward Thorp) виявив, що формула Келлі може оптимізувати шлях зростання багатства. Він впровадив формулу Келлі в казино, у своїй книзі "Beat the Dealer" вперше систематично переміг круп'є в 21, а потім приніс її на Уолл-стріт, продовживши "збирати" в "Beat the Market".
Цей принцип по суті еквівалентний максимізації логарифмічної очікуваної вигоди (log-utility), що забезпечує динамічний баланс між зростанням і ризиком. Він допомагає вам знайти оптимальну точку балансу між "жити довго" і "заробляти достатньо".
Критерій Келлі:
Серед них ймовірність успіху дорівнює p, а ймовірність невдачі дорівнює q = 1-p; множник прибутку під час успіху (не враховуючи основний капітал) дорівнює b, а відсоток втрат під час невдачі дорівнює a (зазвичай 1, якщо втратили всю суму ставки).
Повертаючись до згадуваної на початку гри в підкидання монети, ви можете вибрати ставити певний відсоток від основної суми і грати далі, але скільки найбільш розумно ставити щоразу?
Це означає, що формула Келлі рекомендує вам інвестувати 37,5% від загального капіталу кожного разу. Якщо ви ставите занадто багато, навіть маючи перевагу, ви можете збанкрутувати через кілька підряд програшів; якщо ви ставите занадто мало, ви пропустите зростання, яке повинно було належати вам.
Значення формули Келлі полягає в тому, щоб знайти ту точку, яка дозволяє не тільки заробляти найбільше в довгостроковій перспективі, але й вижити.
Додам, що формула Келлі дуже чутлива до коефіцієнтів виграшу, але в реальному житті ці параметри часто є невизначеними або динамічно змінюються, тому багато надійних практиків обирають половину рекомендованого значення Келлі (яка називається стратегією півкелі) в обмін на більш плавний шлях прибутків.
Моделювання експерименту: у грі з підкиданням монет 100 тисяч людей, скільки з них зможе "вижити"?
Щоб наочніше зрозуміти вплив різних стратегій ставок на долю окремих гравців, я змоделював участь 100 000 гравців у грі з підкиданням монети на початку, усього провівши 200 раундів, кожен гравець грав незалежно.
Правила гри залишаються такими ж: початковий капітал 1000, виграш 80% при позитивному результаті, збиток 50% при негативному. Гравці можуть обрати фіксований відсоток ставки: наприклад, ставити 100% від всієї суми, 65%, 37,5%, ...
Результат... Гравці, які поставили 100%, майже всі знищені!
Остаточне багатство має "степеневий розподіл", хоча є дуже небагато людей, які стали багатими, але абсолютна більшість гравців збанкрутувала.
Ми порівнюємо розподіл багатства гравців за чотирма різними стратегіями ставок: чим правіше розташовані активи, тим вищі активи гравця.
a. 100% ставка: майже всі банкрути
Остаточний розподіл активів за стратегією повного ставлення має величезний лівий пік бідності + дуже тонку праву структуру багатства: більшість людей банкрутують, а дуже мала кількість заробляє всі гроші, це справжнє відображення асиметрії гри + упередження виживших.
b. 65% ставки: все ще спостерігається двополяризація, все ще є багато людей, які банкрутують
c. 37.5% ставки (формула Келлі): стабільне зростання багатства
У стратегії ставок Келлі розподіл активів явно зсувається вправо, більшість людей мають зростання активів, і розподіл зосереджений, що є оптимальною моделлю накопичення багатства.
d. 10% ставка: майже ніхто не банкрутує, але повернення занадто низьке
Немає схожих пікових значень банкрутств за умов повного ризику, але загальне багатство зосереджено в зоні низьких активів. У порівнянні, стратегія 37,5% матиме помітно довгий хвіст праворуч, що призведе до множення активів.
Ставка Келлі є єдиною стратегією, яка поєднує "більшість випадків без банкрутства" та "значний приріст вартості", і є математично оптимальною стратегією для довгострокового виживання. Саме в цьому суть формули Келлі: вона не призначена для того, щоб ви вигравали найбільше, а щоб забезпечити ваше довге життя.
Філософія життя в формулі Келлі
Формула Келлі говорить нам, що секрет тривалого успіху полягає в умінні контролювати пропорцію "ставки". Життя - це не змагання, хто зможе завдати удару один раз, а змагання, хто зможе грати безперервно.
У професійному житті не варто звільнятися на емоціях, і не слід застрягати в комфортній зоні, важливо постійно планувати, підвищувати свої навички, сміливо змінювати напрямок та залишати собі право вибору;
У інвестуванні не йдеться про те, щоб ризикувати всім і швидко розбагатіти, а про те, щоб контролювати позицію відповідно до шансів, залишаючи собі фішки;
У стосунках не слід покладати всі емоції та цінності на одну людину, а потрібно вкладати та водночас зберігати себе;
У зростанні та самодисципліні не покладайтеся на одноразовий спалах для досягнення змін, а оптимізуйте структуру життя стабільно та з ефектом складного відсотка.
Життя схоже на тривалу гру, ваша мета не в тому, щоб виграти один раз, а в тому, щоб переконатися, що ви зможете грати далі. Лише не виходячи з гри, обов'язково станеться щось хороше.